Электроника для начинающих: немного теории без практики

Время чтения: 14 минуты

Законы Кирхгофа помогают анализировать участки, которые нельзя свести к обычным последовательным или параллельным соединениям. Их основу составляют два фундаментальных принципа: сохранение энергии и сохранение электрического заряда.

Эти правила применимы к линейным компонентам — резисторам, конденсаторам и катушкам индуктивности, — а также к нелинейным устройствам, например, диодам и транзисторам. Разница заключается не в законах, а в том, какие зависимости приходится использовать для описания конкретных элементов.

Некоторые электрические цепи невозможно разобрать последовательным применением формул для эквивалентного сопротивления, делителей напряжения и тока. Даже если общее сопротивление удаётся определить, этого недостаточно, чтобы узнать значения на отдельном компоненте. Особенно заметно это в разветвлённых сетях с несколькими источниками.

Здесь на помощь приходят два правила Кирхгофа.

Первое правило Кирхгофа обычно называют законом напряжений или правилом контуров:

Алгебраическая сумма напряжений вдоль любого замкнутого контура равна нулю.

Это непосредственное следствие закона сохранения энергии. Если мысленно пройти по замкнутому пути и вернуться в исходную точку, суммарное изменение электрического потенциала должно компенсироваться.

Чтобы составить уравнение, выбирают направление обхода. Оно любое — по часовой стрелке или против неё. Далее последовательно учитывают падения и подъёмы потенциала на всех элементах. Знаки определяются выбранным направлением и полярностью каждого участка. После завершения обхода сумма всех слагаемых приравнивается к нулю.

Для резистивной цепи запись получается сравнительно простой. Если в контуре присутствуют более сложные компоненты, выражения становятся менее очевидными. Например, для конденсатора и катушки индуктивности напряжение связано с изменением заряда и тока во времени, а поведение диода описывается нелинейной вольт-амперной характеристикой. В результате вместо обычной алгебраической зависимости может появиться дифференциальное уравнение.

Универсальность правила не означает, что любой расчёт удобно выполнять вручную. В реальных задачах инженер чаще использует математические модели и специализированные программы.

Второе правило Кирхгофа связано уже не с энергией, а с сохранением заряда:

Алгебраическая сумма токов в узле равна нулю.

Сколько заряда приходит к электрическому узлу за единицу времени, столько же должно его покидать. Ток не может исчезнуть в точке соединения проводников или возникнуть там без соответствующего источника.

При практическом расчёте часть токов условно направляют к узлу, а часть — от него. После выбора знаков записывают соответствующее уравнение. Например, если к точке соединения приходят два тока, а уходят три, сумма первых должна равняться сумме последних.

Рассмотрим пример совместного применения законов Кирхгофа. Используя приведённую ниже схему, определим неизвестные токи I₁, I₂, I₃, I₄, I₅ и I₆, считая известными R₁–R₆ и V₀. По закону Ома вычисляем падения напряжения на каждом резисторе:

Vₙ = IₙRₙ.

Для решения необходимо записать достаточное количество уравнений по законам Кирхгофа: для напряжений — по независимым контурам, для токов — по независимым узлам. Полученная система уравнений затем решается алгебраическими методами. На рисунке показано, как составляются необходимые уравнения.

В рассматриваемом примере получаем шесть уравнений с шестью неизвестными. При таком количестве уравнений система обычно имеет единственное решение. Существует несколько способов её решения:

Например, определитель матрицы Δ для рассматриваемой системы уравнений вычисляется после подстановки всех коэффициентов в соответствующий определитель.

Чтобы найти ток через резистор R₅, необходимо вычислить определитель ΔI₅, а затем воспользоваться формулой:

I₅ = ΔI₅ / Δ

После этого напряжение на резисторе определяется по закону Ома. На рисунке ниже показана последовательность вычислений.

Остальные токи получают аналогично. Для каждого резистора можно определить падение потенциала. Такой пример хорошо показывает разницу между учебным и инженерным подходом. Ручной расчёт полезен для понимания принципов, но при десятках или сотнях компонентов он становится нерациональным. Поэтому для проверки и исследования подобных конфигураций применяют симуляторы.

С работой приведённой ниже модели можно ознакомиться с помощью интерактивной схемы. Самостоятельно смотрите значения и измеряйте параметры в разных точках.

Выполнение подобных вычислений полезно для понимания принципов анализа цепей, однако в инженерной практике их обычно поручают специализированному программному обеспечению. Решение задачи в симуляторе занимает несколько минут. Результаты моделирования схемы ниже:

Если подставить результаты обратно в уравнения, можно проверить оба правила. Для каждого независимого контура сумма изменений потенциала должна обращаться в ноль, а для узлов выполняется баланс токов.

Показания напряжения на схеме могут быть привязаны к общему проводнику. Это важно учитывать при сравнении измерений и расчётных значений: напряжение между двумя точками и потенциал относительно выбранной опорной точки — не аналогичные показатели.

Даже при использовании симулятора не постоянно требуется решать систему целиком. Если интересует участок сложной сети, существуют методы, позволяющие заменить остальную часть более простым эквивалентом. Один из них — принцип суперпозиции.

Принцип суперпозиции используют для линейных цепей, содержащих несколько независимых источников. Его смысл заключается в том, что общий отклик можно представить как сумму откликов, создаваемых каждым источником по отдельности.

Ток в выбранной ветви линейной цепи равен алгебраической сумме электротоков, создаваемых отдельными независимыми источниками при последовательном рассмотрении каждого.

Важно понимать, что означает «отключение». При этом остальные источники не просто «убирают». Их заменяют эквивалентами с нулевым воздействием. Для идеального источника напряжения это означает короткое замыкание: его напряжение принимают равным нулю. Источник тока, наоборот, заменяют разрывом цепи, поскольку электроток в нём должен стать нулевым.

Рассмотрим условную сеть с двумя резисторами, источником напряжения и источником тока. Вместо одновременного учёта обоих воздействий сначала оставим активным только источник напряжения.

Источник электротока в этот момент заменяется разрывом. Получается более простая конфигурация, в которой можно найти вклад первого источника в ток через R₂.

Затем выполняют обратную операцию: источник напряжения заменяют проводником, а источник тока оставляют активным. Полученное значение представляет собой второй вклад.

Итоговый ток через R₂ находят алгебраическим сложением двух результатов. Если выбранные направления совпадают, значения складываются; при противоположных направлениях одно получит отрицательный знак.

Тот же принцип можно применить к R₁ и другим ветвям.

Суперпозиция особенно полезна в линейных цепях переменного тока, где приходится работать с комплексными сопротивлениями и фазовыми соотношениями. При этом метод не распространяется напрямую на нелинейные зависимости: например, нельзя произвольно разложить работу диода или транзистора на независимые вклады, как это делают для линейного резистивного участка.

Принцип также лежит в основе эквивалентных представлений Тевенена и Нортона. Они решают похожую задачу, но позволяют ещё сильнее сократить объём вычислений.

Предположим, что имеется сложная сеть, а анализировать необходимо только два её вывода A и F. Между ними подключена нагрузка, например, резистор RLOAD. Полный расчёт всей конструкции в таком случае часто избыточен: поведение остальной части можно заменить простой моделью.

Теорема Тевенена утверждает, что линейную двухполюсную сеть относительно выбранных выводов можно представить двумя элементами:

После такой замены задача сводится к обычной последовательной цепи. Ток нагрузки определяется выражением:

I = V_THEV/(R_THEV + R_LOAD)

Важно, что выбранные выводы могут появиться только после временного отключения нагрузки. Если R_LOAD уже установлен в исходной конструкции, его сначала отсоединяют, получают две точки доступа, строят эквивалентную модель, а затем возвращают нагрузочный элемент.

Для построения эквивалента нужно определить два параметра.

В зависимости от задачи эти величины получают расчётом или измерением. Например, напряжение холостого хода удобно снять мультиметром, если речь идёт о реальном устройстве и условия измерения это позволяют.

Рассмотрим делитель напряжения с резисторами R₁ и R₂ и нагрузкой R₃.

Сначала R₃ отключают и рассматривают точки A и B как выход двухполюсника. Напряжение между ними без нагрузки будет V_THEV. В случае обычного делителя его находят непосредственно по формуле деления напряжения.

Затем отключают источник VBAT и смотрят, какое сопротивление получается со стороны A–B. В рассматриваемой конфигурации R₁ и R₂ оказываются соединены параллельно, поэтому их комбинация и определяет R_THEV.

После этого исходную сеть можно заменить небольшим эквивалентом. К нему подключают R₃ и рассчитывают ток и напряжение уже в новой, значительно более простой конфигурации.

Главное преимущество подхода проявляется при повторных расчётах. Если сопротивление нагрузки меняется, исходную сеть не приходится анализировать заново. Достаточно единожды получить V_THEV и R_THEV, а потом подставлять новое значение R_LOAD.

Это особенно удобно при исследовании поведения одного узла, к которому по очереди подключаются разные нагрузки.

Теорема, названная в честь американского инженера Эдварда Лоури Нортона, — ещё один эффективный метод анализа сложных электрических цепей. Подобно теореме Тевенена, она заменяет любую линейную двухполюсную цепь простой эквивалентной схемой. Отличие заключается лишь в её представлении: вместо источника напряжения с последовательным сопротивлением используется источник тока, подключённый параллельно сопротивлению. При этом сопротивление Нортона равно сопротивлению Тевенена.

Новый параметр, который необходимо определить, — ток Нортона I_NORTON. По сути, эта теорема является аналогом теоремы Тевенена для источников тока и, как и она, основана на принципе суперпозиции.

На рисунке ниже показано, как ту же схему можно представить в виде эквивалента Нортона. I_NORTON равен электротоку КЗ между выводами A и B.

Для его определения сначала отключают нагрузку R3, а затем замыкают выводы A и B. Поскольку идеальное КЗ шунтирует резистор R2, ток сквозь него не протекает. По закону Ома получаем ток КЗ:

Затем определяют эквивалентное сопротивление. Оно совпадает с сопротивлением Тевенена, поэтому используем результат предыдущего примера:

После этого строят эквивалентную схему Нортона, возвращают нагрузку R3 и определяют ток через неё по закону Ома или с помощью формулы делителя тока.

Таким образом, источник напряжения Тевенена соответствует источнику тока Нортона, а общее для обеих моделей сопротивление остаётся неизменным.

Есть и удобная физическая интерпретация. Напряжение Тевенена — это напряжение холостого хода на выводах, ток Нортона — электроток их короткого замыкания. Оба параметра описывают поведение одного двухполюсника, просто с разных сторон.