Основы цифровой обработки сигналов: теорема Котельникова

Время чтения: 14 минут

Разработка теоремы стала основой для бурного развития аудио- и видеосистем, телекоммуникаций и ряда других областей, где ЦОС – неотъемлемая часть технологии.

Перед тем как перейти к сущности теоремы и описать, каков практический смысл в дискретизации аналоговых сигналов, рассмотрим понятия аналоговой и цифровой информации, ЧД, спектра и другие.

Аналоговый сигнал (АС) представляет собой тип передачи данных, где они представлены в непрерывной форме. В контексте электроники и электротехники он заключается в изменении напряжения или тока во времени. В других процессах описывается непрерывной функцией, не обязательно периодической.

Примеры аналоговой системы широко распространены в природе:

В отличие от АС, которые представляют непрерывные изменения показателей, в цифровых сигналах (ЦС) информация заключена в виде дискретных значений, как правило, последовательности нулей и единиц. Большинство ЦС создаются из АС посредством их преобразования, однако есть примеры, когда дискретные данные генерируется в чистом виде:

Ключевая идея заключается в том, что в АС представлен непрерывным потоком данных, в отличие от дискретных, разделённых порциями, как в ЦС.

Благодаря повсеместной цифровизации, появилась большая необходимость в преобразовании аналогового сигнала в цифровой код. Помимо дискретизации, еще применяют квантование. Этот метод встречается в ПЗС (CCD) матрицах фотокамер. Отличие заключается в том, что при дискретизации регистрируют мгновенные значения амплитуды через равные промежутки времени. При квантовании же фиксируют усреднённое значение регистрируемого параметра в определённом временном отрезке. Здесь важную роль играет разрядность квантования.

Основными причинами, требующими деление информации на «порции» это:

Это важный параметр АЦП, который определяет, как часто мы берём образцы АС для его преобразования. Фактически это количество измерений или отсчётов, сделанных в течение определённого промежутка времени.

В аналого-цифровом преобразовании, термин теорема Найквиста, в чистом виде не используется и не упоминается в литературе. Работы Котельникова и Шеннона привели к слиянию общих наработок в области АЦП и появлению единой концепции. Её называют теоремой Котельникова в российской, а Шеннона – Найквиста — в англоязычной литературе.

Частота Найквиста – это важный показатель в АЦП. Он отражает, какова должна быть минимальная периодичность выполнения выборок, чтобы АС получилось эффективно восстановить. Фактически число Найквиста – это минимально необходимая частота дискретизации аналого-цифрового преобразователя.

Простейшим аналоговым сигналом является синусоидальная волна. Она имеет свою амплитуду, длину и периодичность повторения.

Однако в большинстве своём АС имеет сложную форму и его невозможно описать какой-либо простой функцией. Для этого используют преобразование Фурье. Оно позволяет разложить её в виде алгебраической суммы простых функций. Каждая вносит свой вклад и имеет собственную амплитуду и частоту. Так что спектр сигнала – это график, на котором отражены частоты преобразовываемого АС. Спектр описывается амплитудно-частотной характеристикой.

Её определение следующее: непрерывный сигнал s(t), который ограничен по спектру частотой fв, определяется совокупностью мгновенных значений (отсчётов) s(tк) в моменты времени tк = k . ∆t, отстоящие друг от друга на временной интервал.

То есть это означает, что периодичность, с которой мы должны измерять наш АС, зависит от параметров той его составляющей, что имеет максимальную частоту. При этом выборка осуществляется с периодичностью не меньше чем в два раза, превышающей частоту fв.

Чтобы понять причину, почему выборка ограничена, рассмотрим пример. Если для синусоидальной волны с интенсивностью колебаний в 5 герц сделать её с разной периодичностью, то увидим, что при малом периоде собранные данные не будут достоверно отражать истинную форму исходной волны.

Однако так как большинство АС не описываются простыми функциями, то рассмотренный нами пример с синусоидой является исключением, так как для него недостаточно двукратного превышения частоты. При такой форме волны требуется четырёхкратное превышение ЧД. Однако в большинстве случаев при АЦП достаточно использовать частоту Найквиста.

Применение этой теоремы сопряжено с определёнными ограничениями, а именно:

Эти ограничения не означают, что теорема неприменима вообще, а лишь указывают на условия, при которых она доступна к применению без утери информации, снижения передаточной характеристики и иных существенных искажений.

Практическое применение теоремы встречается во всех областях, в которых задействована цифровая техника. Рассмотрим некоторые из них.

Цифровая обработка.
Здесь её применение помогает избежать потери данных и появления артефактов при обработке высокочастотной информации как на этапе аналого-цифрового, так и цифро-аналогового преобразования.

Телекоммуникация.
В области телекоммуникаций применяется для определения минимальной пропускной способности канала связи. Это устраняет риск появления эффекта алиасинга и иных искажений передаваемой информации.

Обработка видео и изображений.
В этой области она позволяет определить максимальную ЧД и пропускную способность канала, при которой изображение или видео правильно восстанавливаются и передаются без потерь.

Аналоговая электроника.
В аналоговой электронике расчёты используются для определения ширины полосы пропускания фильтров. Это помогает избежать искажений при обработке данных.

Также теорема применяется в сотовой связи, электронной навигации, радиоастрономии, аудио- и видеотехнике, и электронике.

Для правильной оцифровки нужно, чтобы ЧД быть не меньше, чем удвоенная максимальная частота в исходном АС. Таким образом, её выбор является первоначальным шагом.